Энэ удаа тооны машин ашиглахгүйгээр том тооноос хэрхэн язгуур авах талаар үзье. Үүнийг мэдэж байх нь шалгалт шүүлэг гэлтгүй ерөнхий тохиолдолд ч хэрэгтэй. Тоог үржигдхүүнд задлаад язгуур авчихна гэж бодвол энгийн мэт. Жишээ нь 291600 гэсэн тоог үржигдхүүнд задалбал
болно. Эндээс тооцоог хийвэл

гээд л болоо. Тоо 2, 3, 4 гэх мэтээр үржигдхүүнд задарвал арга нь дажгүй. Гэхдээ нэг асуудал бий. Язгуураас гаргах тоо маань анхны тоонуудыг үржвэр хэлбэрээр задарч байвал яах вэ? Жишээ нь 152881 нь 17·17·23·23 гэж задарна. Эдгээр хуваагчийг шууд олох гээд үзээрэй. Нилээд хүндхэн байх болов уу.

Бидний үзэх арга бол цэвэр анализ юм. Язгуур ч хурдан олдоно. Аргыг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 1
190969 тооноос язгуур ав.

Бодолт.

Эхлээд бидний хайж буй үр дүн зууд хуваагдах ямар тоонуудын дунд оршиж байгааг тодорхойлно. гэдгээс дээрх тооны язгуур 400 -гаас 500 -гийн хооронд оршино. Үнэхээр гэдэг нь тодорхой. Энэ үйлдэл амархан байсан байх. Цааш нь өгөгдсөн тоо хоёр хязгаарын дунд нь эсхүл аль хязгаарт илүү ойрхон байгааг харна. 190969 тоо 160000, 250000 хоёрын бараг л дунд нь гэхдээ 160000 -д арай ойр оршиж байна. Иймээс манай үр дүн 450 -с бага байж таарна. Шалгаад үзье. 450·450=202500 гэдгээс 190969 < 202500 гэдэг нь ойлгомжтой. Тэгвэл 440 -г шалгаад үзвэл 440·440=193600 гэдгээс 190969 < 193600 болно. Одоо 430 -ыг үзвэл 430·430=184900 гэдгээс 190969 > 184900 байна. Эндээс өгөгдсөн тооны язгуур 430 - 440 ийн хооронд байхыг тогтоолоо.
Цааш нь тоонуудын үржвэрийн чанаруудыг ашиглана. Үүнд

• 1 эсхүл 9 -өөр төгссөн тоонуудын үржвэр 1 -ээр төгссөн тоо байна. Жишээ нь 21·21=441, 19·19=361 гэх мэтээр
• 2 эсхүл 8 -аар төгссөн тоонуудын үржвэр 4 -өөр төгссөн тоо байна. Жишээ нь 18·18=324, 32·32=1024 гэх мэтээр
• 5 -аар төгссөн тоонуудын үржвэр 5 -аар төгссөн тоо байна. Жишээ нь 25·25=625, 15·15=225 гэх мэтээр
• 4 эсхүл 6 -аар төгссөн тоонуудын үржвэр 6 -аар төгссөн тоо байна. Жишээ нь 26·26=676, 14·14=156 гэх мэтээр
• 3 эсхүл 7 -оор төгссөн тоонуудын үржвэр 9 -өөр төгссөн тоо байна. Жишээ нь 13·13=169, 17·17=289 гэх мэтээр

Эндээс 190969 тооны сүүлийн цифр 9 байгаа тул тоо нь нэг бол 433 эсхүл 437 гэсэн тоонуудын үржвэр байх магадлалтай. Эдгээр тоонуудын квадратын сүүлийн цифр 9 байх боломжтой. Шалгаад үзвэл.
433·433=187489 харин 437·437=190969 гарч байна.
Энэ аргаар хайхад танд ихдээ л 5 үйлдэл шаардагдана. Бүхий л зүйл үнэлгээг хир нарийн гаргаснаас хамаарах болно.

148996 тооноос язгуур ав. Үүнийг өөрсдөө хийгээрэй.

Иймэрхүү дискриминантууд хөдөлгөөний бодлого дээр гарч ирэх нь элбэг байдаг ч шалгалт дээр дайралдах магадлал багатай. Гэсэн хэдий ч энэхүү аргыг мэдэж байхад илүүдэхгүй. Ерөнхийдөө 30 хүртэл тоонуудын квадратыг цээжээр мэдэж байх хэрэгтэй. Ихэнх бодлогуудын зэрэг дэвшүүлэх болон язгуур авах үйлдлүүд 30 -аас даваад байх нь бага байдаг.