Теорем, аксиом, тодорхойлолт

Баталгаа - Ямар нэгэн шинж чанарыг тогтоохыг хэлэлцэх.
Теорем - Баталгаа шаардсан ямар нэгэн шинж чанарыг тогтоохыг нотлох. Теоремуудыг бас лемм, шинж, үр дагавар, дүрэм, чанар, нотолгоо гэж нэрлэдэг. Теоремыг өмнө нь тогтоосон шинжүүдийг үндэслэн баталдаг. Геометрт зарим шинж чанарыг үндсэн гэж үзэж баталгаа шаардахгүй хэрэглэдэг.
Аксиом - Баталгаагүйгээр ашигладаг зарим шинж чанарыг тогтоосон нотолгоо. Аксиом нь туршилтаас үүсдэг бөгөөд туршилт нь тэдгээрийн үнэнийг бүхэлд нь тогтооно.Янз бүрийн аргаар аксиомуудыг зохиож болно. Гэхдээ аксиом нь геометрийн бусад шинж чанарыг батлахад хангалттай байх хэрэгтэй. Нэг аксиомыг нөгөөгөөр соливол энэ нь теорем болж байгаа тул түүнийг батлах хэрэгтэй болдог.

Сэлгэмэл

гэсэн n ширхэг ялгаатай элементийг авъя. Зөвхөн байрыг нь солих замаар бүх боломжит хувилбарыг гаргая. Ингэхдээ хувилбар болгонд n ширхэг элемент байна. Ийм байдлаар гаргаж авсан хувилбар бүрийг сэлгэмэл гэнэ. n элементээс гаргах сэлгэмэлийн нийт тоог P_n гэж тэмдэглэнэ. Энэ тоо нь 1 ээс n хүртэлх бүх тоонуудын үржвэртэй тэнцүү байдаг.

1·2·3·…·( n−1 )·n үржвэрийг хураангуй байдлаар n! гэж тэмдэглэдэг бөгөөд факториал гэж нэрлэдэг. 0!=1 байдаг.

Жишээ:
a, b, c гэсэн 3 элементээс гарах сэлгэмэлийн тоог ол.

Бодолт:
Сэлгэмэлийн тоог олох томьёогоор болно. Үнэхээр дээрх 3 элементээс abc, acb, bac, bca, cab, cba гэсэн 6 сэлгэмэл гаргаж болно.

Логарифмын үндсэн адитгал

N эерэг тооны (b>0,b≠1) суурьтай логарифм гэдэг нь N ийг гаргах b гийн x зэрэг илтгэгчийг хэлнэ. Логарифмыг доорх байдлаар тэмдэглэнэ.
Энэ бичлэг нь гэсэнтэй адил.

Жишээ:

Логарифмын тодорхойлолтыг адитгал байдлаар бичиж болно.

Натурал тоон цувааг авч үзье.

1, 2, 3, … ,n-1, n, …

Энэ цувааны тоо бүрийг тодорхой дүрмийн дагуу u_n тоогоор соливол бид шинэ тоон цувааг гаргана

Энэ шинэ гарсан цувааг тоон дараалал гэдэг. u_n тоог тоон цувааны ерөнхий гишүүн гэнэ.
Тоон цувааны жишээнүүд

2, 4, 6, … , 2n, …;
1, 4, 9, 16, 25, … , n², …;
1, 1/2, 1/3, 1/5, … , 1/n, …;

Тэнцэл бишийн баталгаа

Тэнцэл бишийг батлах хэд хэдэн арга байдаг. Эдгээрийг   / энд a эерэг тоо / жишээн дээр авч үзье.
1. Мэдэгдэж буй эсвэл өмнө нь батлагдсан тэнцэл бишийг ашиглах.

( a−1 )² ≥0 гэдэг нь ойлгомжтой. a>0 учраас байна. Хаалтыг задалбал болох бөгөөд эндээс гарна.

2. Тэнцэл бишийн хэсгүүдийн ялгаварын тэмдгийг ашиглах.

Тэнцэл бишийн зүүн баруун талын хэсгийн ялгаварыг авч үзье.
Эндээс a=1 үед л тэнцэл гарах нь харагдаж байна.

3. Эсрэгээс нь батлах.

гэж үзье. Тэнцэл бишийн хоёр талыг a гаар үржүүлбэл a² +1<2a буюу a² +1−2a<0 өөрөөр (a−1)² <0 болно. Энэ нь буруу тэнцэл биш тэгэхээр эсрэг тохиолдол нь үнэн болно.

(>) их , (<) бага , (≥) их буюу тэнцүү , (≤) бага буюу тэнцүү тэмдгүүдийн аль нэгээр холбогдсон тоон болон үсгэн илэрхийллүүд тэнцэл биш үүсгэнэ. Тэнцэл бишид орсон үсгэн хэмжээнүүд нь тодорхой болон үл мэдэгдэгч байдлаар байж болно. Тэнцэл бишийг бодох гэдэг нь тэнцэл бишийг үнэн байлгах үл мэдэгдэгчийн утгуудын хилийг олохыг хэлнэ. Тэнцэл бишийн системийг бодох гэдэг нь системд орсон тэнцэл бишүүдийг нэгэн зэрэг үнэн байлгах үл мэдэгдэгчдийн утгуудын хилийг олохыг хэлнэ.

Натурал n тооноос хамаарсан тодорхой шинжийг батлах хэрэгтэй боллоо гэж бодъё. Энэ шинж нь томьёо, адитгал, тэнцэл биш, нотолгоо байж болно. Хэрвээ
Энэ шинж ямар нэгэн n₀ натурал тооны хувьд үнэн
n=k үед энэ шинж үнэн байх нөхцлөөс үүдэн дурын k≥ n₀ хувьд n=k+1 үед энэ шиж үнэн гэвэл энэ шинж нь дурын n≥ n₀ натурал тооны хувьд үнэн байна.
Жишээ:

1+3+5+ … +(2n-1)=n² гэдгийг батал.

Квадрат тэгшитгэлийн бодолтын D<0 / энд D нь квадрат тэгшитгэлийн дискриминант / үед шинэ төрлийн тооны хэрэгцээ гарч ирсэн. Удаан хугацаанд эдгээр тоонуудыг бодит хэрэгцээ гараагүй байснаас тэдгээрийг хуурмаг тоо гэж нэрлэж байлаа. Одоо эдгээр тоо нь физик, цахилгаан техник, аэро болон гидродинамикт зэрэгт маш өргөн хэрэглэгээтэй болсон. Комплекс тоог a+bi хэлбэрээр бичдэг. Энд a ба b нь бодит тоо, харин i нь хуурмаг нэг буюу i²=-1. a тоог комплекс тооны абсцисс, харин b тоог ординат гэдэг. a+bi ба a-bi хоёр комплекс тоог хос комплекс тоо гэдэг.

Үндсэн тохиролцоо

• Бодит a тоог a+0i эсвэл a-0i гэсэн комплекс хэлбэрээр бичиж болно. Жишээ : 5+0i эсвэл 5-0i бичлэг нь 5 гэсэн тоог илэрхийлнэ.
• 0+bi комплекс тоог цэвэр хуурмаг тоо гэнэ. bi бичлэг нь 0+bi гэснийг илэрхийлнэ.
• a+bi ба c+di хоёр комплекс тооны a=c , b=d байвал эдгээр тоог тэнцүү гэнэ. Эсрэг тохиолдолд комплекс тоонуудыг тэнцүү биш гэнэ

Хавтгай буюу огторгуйд байрлах хоёр цэгийг холбосон чиглэл бүхий хэрчмийг вектор гэнэ. Векторыг голдуу жижиг үсэг эсвэл эхлэл төгсгөлийн цэгүүдээр тэмдэглэж дээр нь зураас тавьдаг.
Жишээ нь A цэгээс B цэг рүү чиглэсэн векторыг эсвэл гэж тэмдэглэнэ.
векторуудыг эсрэг вектор гэнэ. Тэгвэл болно.
Эхлэл төгсгөлийн цэг нь давхцаж байгаа векторыг тэг вектор гэдэг бөгөөд 0 эсвэл гэж тэмдэглэнэ.
Векторыг үзүүлж байгаа AB хэрчмийн уртыг векторын урт /модуль/ /тэмдэглэгээ |a| / гэнэ.
Хэрвээ векторуудын чиглэл заасан хэрчмүүд паралел шулуун дээр байвал тэдгээрийг коллинар вектор гэдэг. a, b векторуудыг коллинар гэдгийг a||b гэж тэмдэглэнэ.
Гурав ба түүнээс дээш векторууд нэг хавтгайд оршиж байвал тэдгээрийг комплинар вектор гэнэ.

1. Дээд эрэмбийн зарим тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэлийг ашиглан бодож болно. Тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёроос ихгүй зэрэгтэй үржигдхүүнээр задлана. Тэгээд үржигдхүүн болгоныг тэгтэй тэнцүүлж квадрат эсвэл шугаман тэгшитгэлийг бодсноор анхдагч тэгшитгэлийн бүх шийдийг олно.

Жишээ
тэгшитгэлийг бод.

Бодолт
Тэгшитгэлийн зүүн талыг үржвэрт задалбал.
болно. Эндээс x²=0 тэгшитгэлийн шийд нь x₁=x₂=0 гэж гарна.
Одоо тэгшитгэлийг бодвол x₃=1, x₄=-3 гэж гарна
Тэгэхлээр анхны тэгшитгэл нь x₁=0, x₂=0, x₃=1, x₄=-3 гэсэн 4 шийдтэй болно.