Тэнцэл бишийн баталгаа

Тэнцэл бишийг батлах хэд хэдэн арга байдаг. Эдгээрийг   / энд a эерэг тоо / жишээн дээр авч үзье.
1. Мэдэгдэж буй эсвэл өмнө нь батлагдсан тэнцэл бишийг ашиглах.

( a−1 )² ≥0 гэдэг нь ойлгомжтой. a>0 учраас байна. Хаалтыг задалбал болох бөгөөд эндээс гарна.

2. Тэнцэл бишийн хэсгүүдийн ялгаварын тэмдгийг ашиглах.

Тэнцэл бишийн зүүн баруун талын хэсгийн ялгаварыг авч үзье.
Эндээс a=1 үед л тэнцэл гарах нь харагдаж байна.

3. Эсрэгээс нь батлах.

гэж үзье. Тэнцэл бишийн хоёр талыг a гаар үржүүлбэл a² +1<2a буюу a² +1−2a<0 өөрөөр (a−1)² <0 болно. Энэ нь буруу тэнцэл биш тэгэхээр эсрэг тохиолдол нь үнэн болно.

Натурал тоон цувааг авч үзье.

1, 2, 3, … ,n-1, n, …

Энэ цувааны тоо бүрийг тодорхой дүрмийн дагуу u_n тоогоор соливол бид шинэ тоон цувааг гаргана

Энэ шинэ гарсан цувааг тоон дараалал гэдэг. u_n тоог тоон цувааны ерөнхий гишүүн гэнэ.
Тоон цувааны жишээнүүд

2, 4, 6, … , 2n, …;
1, 4, 9, 16, 25, … , n², …;
1, 1/2, 1/3, 1/5, … , 1/n, …;

Логарифмын үндсэн адитгал

N эерэг тооны (b>0,b≠1) суурьтай логарифм гэдэг нь N ийг гаргах b гийн x зэрэг илтгэгчийг хэлнэ. Логарифмыг доорх байдлаар тэмдэглэнэ.
Энэ бичлэг нь гэсэнтэй адил.

Жишээ:

Логарифмын тодорхойлолтыг адитгал байдлаар бичиж болно.

Сэлгэмэл

гэсэн n ширхэг ялгаатай элементийг авъя. Зөвхөн байрыг нь солих замаар бүх боломжит хувилбарыг гаргая. Ингэхдээ хувилбар болгонд n ширхэг элемент байна. Ийм байдлаар гаргаж авсан хувилбар бүрийг сэлгэмэл гэнэ. n элементээс гаргах сэлгэмэлийн нийт тоог P_n гэж тэмдэглэнэ. Энэ тоо нь 1 ээс n хүртэлх бүх тоонуудын үржвэртэй тэнцүү байдаг.

1·2·3·…·( n−1 )·n үржвэрийг хураангуй байдлаар n! гэж тэмдэглэдэг бөгөөд факториал гэж нэрлэдэг. 0!=1 байдаг.

Жишээ:
a, b, c гэсэн 3 элементээс гарах сэлгэмэлийн тоог ол.

Бодолт:
Сэлгэмэлийн тоог олох томьёогоор болно. Үнэхээр дээрх 3 элементээс abc, acb, bac, bca, cab, cba гэсэн 6 сэлгэмэл гаргаж болно.

Теорем, аксиом, тодорхойлолт

Баталгаа - Ямар нэгэн шинж чанарыг тогтоохыг хэлэлцэх.
Теорем - Баталгаа шаардсан ямар нэгэн шинж чанарыг тогтоохыг нотлох. Теоремуудыг бас лемм, шинж, үр дагавар, дүрэм, чанар, нотолгоо гэж нэрлэдэг. Теоремыг өмнө нь тогтоосон шинжүүдийг үндэслэн баталдаг. Геометрт зарим шинж чанарыг үндсэн гэж үзэж баталгаа шаардахгүй хэрэглэдэг.
Аксиом - Баталгаагүйгээр ашигладаг зарим шинж чанарыг тогтоосон нотолгоо. Аксиом нь туршилтаас үүсдэг бөгөөд туршилт нь тэдгээрийн үнэнийг бүхэлд нь тогтооно.Янз бүрийн аргаар аксиомуудыг зохиож болно. Гэхдээ аксиом нь геометрийн бусад шинж чанарыг батлахад хангалттай байх хэрэгтэй. Нэг аксиомыг нөгөөгөөр соливол энэ нь теорем болж байгаа тул түүнийг батлах хэрэгтэй болдог.

O гэсэн нэг цэгээс / өнцгийн орой / гарсан OA , OB хоёр цацрагаас / өнцгийн талууд / үүссэн геометрийн дүрсийг өнцөг гэнэ. /Зур. 1/

Өнгийг тэмдэг ба өнцгийн орой, төгсгөлүүдийг заасан 3 үсгээр гэж тэмдэглэнэ. Ингэхдээ оройг илэрхийлэх үсгийг дунд нь бичнэ. Өнцгийг OA цацраг O оройг тойрон OB цацрагтай давхцах хүртэл эргэлтээр хэмжинэ. Радиан ба градус гэсэн хоёр нэгжийг өнцгийн хэмжээнд голлон ашигладаг.

Нэг хавтгай дээр орших хоорондоо огтлолцодгүй /Зур. 11/ AB ба CD шулуунуудыг паралель шулуун гэдэг бөгөөд AB || CD гэж тэмдэглэнэ. Паралель шугамын нэг дээр байрлах цэг нөгөө шугаман дээр байрлах цэгээс ижил зайд байна. Паралель шугамын хоорондох өнцөгийг тэг гэж үздэг. Нэг чигт чиглэсэн хоёр паралель цацрагийн хоорондох өнцөг тэгтэй , эсрэг чиглэлтэй тохиолдолд тэнцүү. KM шулуунтай перпендикуляр AB, CD, EF /Зур. 12/  шулуунууд нь өөр хоорондоо паралель байна. Паралель хоёр шулуунтай перпендикуляр шулууны урт нь паралель шулуунуудын хоорондын зай болно.

Хавгайн геометрт ихэнхдээ ашиглагддаг аксиомуудыг авч үзье

1. Харьяаллын аксиом. Хавтгай дээрх дурын хоёр цэгийг дайруулж цорын ганц  шулуун татна.
2. Дарааллын аксиом. Шулуун дээрх гурван цэгээс хоёр цэгийнхээ дунд орших нэг цэг олдоно.
3. Хэрчим өнцөгийн тэнцлийн аксиом. Хэрвээ хоёр өнцөг юмуу хэрчим гуравдагч өнцөг юмуу хэрчимтэй тэнцүү бол тэдгээр нь өөр хоорондоо тэнцүү байна.
4. Паралель шулууны аксиом. Шулууны гадна орших дурын нэг цэгийг дайруулан уг шулуунтай паралель цорын ганц шулуун татаж болно.
5. Үргэлжлэлийн аксиом. / Архимедын аксиом /  AB ба CD дурын хоёр хэрчмийн хувьд гэсэн төгсгөлөг цэгийн багц байна. Тэгвэл AB хэрчим дээр байгаа хэрчмүүд нь CD дээрх хэрчмүүдтэй тэнцүү бөгөөд A ба хооронд B цэг оршино.

Хэрчмүүдээр бүрэн хаагдсан хавтгай дүрсийг олон өнцөгт гэнэ. Өнцгийн тооноосоо хамааран олон өнцөгт нь гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт гэх мэтээр байж болно. /Зур. 17/ дээр ABCDEF гэсэн зургаан өнцөгтийг үзүүлсэн байна. A, B, C, D, E, F цэгүүдийг олон өнцөгтийн орой гэнэ.

Гурван талтай / эсвэл гурван өнцөгтэй / олон өнцөгтийг гурвалжин гэнэ. Гурвалжингийн талуудыг голдуу жижиг үсгээр , талын эсрэг орших оройг том үсгээр тэмдэглэдэг.

Гурвалжингийн бүх гурван өнцөг нь /Зур. 20/ хурц байвал хурц өнцөгт , аль нэг өнцөг нь /Зур. 21/ тэгш байвал тэгш өнцөгт гурвалжин гэж нэрлэнэ. Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийг үүсгэж байгаа a, b талуудыг катетууд, харин тэгш өнцгийн эсрэг орших талыг гипотенуз гэдэг. Гурвалжингийн аль нэг өнцөг нь /Зур. 22/ мохоо байвал мохоо өнцөгт гурвалжин гэнэ.