Алгебр (арифметикийн адилаар) тоотой холбоотой төрөл бүрийн асуудлын шийдийг олох шинжлэх ухаан. Арифметик, алгебрын хоорондоо нилээд ялгаатай. Алгебр тоотой биш тоог төлөөлөх үсгүүдтэй голлон ажилладаг бол арифметикт тодорхой тоонууд дээр тухайн асуудлын шийдлийг олоход чиглэдэг. Эндээс эдгээр хоёр салбар ухааны гол ялгаа гэвэл алгебр асуудлын ерөнхий шийдлийг харин арифметик асуудлын тухайн тохиолдлын шийдлийг судалдагт оршино.

Олонлог гэдэг нь дурын обьектуудийн багц /нэгдэл/. Олонлогийг A-Z латин том үсгээр тэмдэглэнэ. Үндсэн тоон олонлогт натурал тоон олонлог, бүхэл тоон олонлог орох бөгөөд латин N, Z үсгүүдээр тэмдэглэнэ.
N - натурал тоон олонлог
Z - бүхэл тоон олонлог
Олонлогийн элемент гэдэг нь олонлогийн бүрэлдхүүнд багтах дурын обьект. Обьект олонлогт багтана гэдгийг ε тэмдэгээр заана. Жишээ нь бичлэгийг "5 нь Z олонлогт харьяалагдана" эсхүл "5 нь Z олонлогийн элемент" гэж уншина.

Тооны стандарт хэлбэр гэдэг нь түүний үржвэр хэлбэрийн бичилт юм.
Жишээ нь x·10ⁿ энд 1 ≤ x < 10, n - бүхэл тоо.

10 -ын бүхэл зэргүүдээр маш том болон жижиг тоонуудыг тооны стандарт хэлбэрээр бичиж болдог. Өөрөөр хэлбэл тоог илэрхийлэх урт бичлэгийг богино болгох боломж гэсэн үг.

Алгебрт тоон эсхүл координатийн тэнхлэг ойлголт чухал үүрэгтэй. Иймээс хичээлээр тоон тэнхлэг ухагдхууны талаар авч үзье.
Эхлэлийн цэг, эерэг чиглэл болон нэгж хэрчмийг тэмдэглэсэн шулууныг координатийн буюу тоон тэнхлэг гэнэ. O эхлэлийн цэгтэй эерэг чиглэлийг сумаар заасан доорх шулууныг авч үзье.

Тоон тэнхлэг хичээлээр тоон тэнхлэг ухагдхууныг үзсэн. Тэгвэл хавтгайд хоорондоо перпендикуляр OX, OY тоон тэнхлэгийг байгуулбал тэднийг координатийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Хэвтээ OX тэнхлэгийг абсцисс (x тэнхлэг) харин босоо OY тэнхлэгийг ординат (y тэнхлэг) гэнэ.

Тоон завсар гэдэг нь координатийн шулуунд дүрсэлж болох тоон ологлог юм. Тоон завсарт цацраг, хэрчим, интервал, хагас интервалууд орно. Тоон олонлогуудыг функцийн тодорхойлогдох болон утгын муж, тэнцэлтгэл бишийн шийдүүд, тэнцэтгэл биш зэрэгт өргөн ашигладаг тул тэдгээрийн хэлбэр, тэмдэглэгээг бүрэн ойлгон мэдсэн байх хэрэгтэй.

Координатийн шулуун дээрх хоёр цэгийн хоорондын зай нь тэдгээрийн координатуудын ялгаварын модултай тэнцүү. Үүнийг математикийн хэлээр буюу томьёогоор илэрхийлбэл

AB=|a-b|

юм. Энд A, B бол координатийн шулуун дээрх дурын хоёр цэг бөгөөд a, b нь тэдгээрийн координатууд.

Алгебрийн ухагдхуун, илэрхийлэл, тэгшитгэл, тэнцэл биш гээд бүхий л зүйлийн тэмдэглэгээнд латин болон грек үсгийг голдуу ашигладаг тул үсгүүдийг тогтоон цээжилсэн байх хэрэгтэй.

Алгебрийн илэрхийлэл гэдэг нь тооны оронд үсэг болон цифр байж болох хэлбэрээр зохиогдсон бичлэг. Өөрөөр хэлбэл үсэг болон тоонууд холилдон орсон бичлэг. Үүний дээр алгебрийн илэрхийлэл арифметикийн үйлдлүүдийн тэмдэгүүд болон хаалтыг агуулж байж болно.
Алгебрт тоог тэмдэглэсэн дурын үсэг, цифрүүдээр дүрслэгдсэн дурын тоог алгебрийн илэрхийлэл гэж үздэг. Томьёонд агуулагдаж буй алгебрийн илэрхийллийн үсгүүдийг өгөгдсөн тоонуудаар орлуулан заагдсан үйлдлүүдийг хийн арифметикийн тодорхой бодлогуудад хэрэглэдэг.

Математикийн бүх илэрхийллүүд хамгийн сүүлд хийгдэх үйлдлээрээ нэрлэгддэг. Үүнийг сайн тогтоон аваарай. Учир нь сурагчид илэрхийллийг хараад a дээр нэмэх b хасах нь c үржих нь d гэх мэтээр унших гээд байх нь элбэг. Энэ нь таны алгебрийн анхан шатны мэдлэггүй гэж үзэхэд хүргэх том асуудал болохыг сануулъя.

Иймээс хичээлээр илэрхийллийг хэрхэн зөв уншихыг сурцгаая.

Нийлбэрийн шинжүүдийг сурагчид сайн мэддэг. Хүмүүс тоонуудын нийлбэрийг хурдан тооцоход эдгээр шинжүүдийг тогтмол хэрэглэдэг ч яг ямар шинж гэдгийг төдийлөн мэдээд байдаггүй.

Арифметикийн үйлдлүүдийн шинжүүдийг мэдэхгүй ч хүмүүс тэдгээрийг тооцоонд өргөн ашигладаг. Энэ удаа үржвэрийн шинжүүдийг аьч үзье.

Байр солих шинж.

Үржигдхүүнүүдийн байрыг солиход үржвэр өөрчлөлгдөхгүй. Өөрөөр хэлбэл үржвэрт орж буй гишүүдийн байрыг солиход үржвэрт нөлөөлөхгүй гэсэн үг. Эндээс дурын a, b тоонууд эсхүл илэрхийллийн хувьд a·b=b·a байна.

Жишээ

6·7=7·6 = 42
4·2·3=3·2·4 = 24
a·b·c=c·a·b=b·c·a

Ялгавар дахь хасагдагчийг эсрэг тэмдэгтэйгээр авбал ялгаварыг нийлбэрээр сольж болно. Нийлбэрийн энэ шинжийг

a - b = a + (-b)

ерөнхий томьёогоор илэрхийлж болно. Эндээс дурын ялгаварыг нийлбэрээр сольж болохыг энэ томьёо илэрхийлнэ. Иймээс алгебрт хасах, нэмэх үйлдэлүүд оролцсон дурын илэрхийллийг нийлбэр гэж үзэж болно.

Алгебр үзэж эхлэж байгаа сурагчдад тохиолддог эхний хүндрэл үсгүүд орж ирэх дараагийнх нь хаалт нээх байдаг. Хаалтыг алгебрийн илэрхийлэлүүдэд ихээр ашигладаг тул Алгебрийн илэрхийллүүд сэдвийн бодлогуудыг бодох явцад аяндаа цээжлэгдэх болно. Алгебрийн дүрэм, тоерем, томьёонуудыг шууд цээжлэх гэснээс илүү бодлогуудад ашиглан хэрэглэвэл илүү хурдан тогтоодог.
Хаалт нээх гэдэг бол хаалттай бичигдсэн илэрхийллийг түүнтэй тэнцүү хаалтгүй илэрхийллээр солихыг хэлнэ.

Тэнцүүгийн (=) тэмдгээр холбогдсон хоёр тоон эсхүл үсгэн илэрхийлэл тэнцлийг бүрдүүлнэ. Тэнцүүгийн (=) тэмдгийн зүүн орших илэрхийллийг зүүн буюу нэгдүгээр харин баруун орших илэрхийллийг баруун буюу хоёрдахь хэсэг гэнэ.

Адитгал гэдэг бол тэнцүүгийн тэмдгийн хоёр тал адил буюу тэнцүү идэрхийллээр илэрхийлэгдэх тэнцэл. Адитгалууд үсгэн ба тоон гэж хуваагдана.

Адитгал илэрхийлэл

Алгебрийн хоёр илэрхийлэл үсгүүдийн дурын тоон утганд ижил тоон хэмжээстэй байвал тэдгээрийг адитгал буюу тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Жишээ нь x(5 + x) ба 5x + x² илэрхийллүүд адитгал илэрхийллүүд юм. Учир нь илэрхийллүүд x -ийн дурын утганд бие биетэйгээ тэнцүү утгыг өгнө. Иймээс эдгээрийг адитгал буюу адил тэнцүү гэж нэрлэж болно.
Үүнээс гадна өөр хоорондоо тэнцүү тоон илэрхийллүүдийг адитгал гэж нэрлэж болно.
Жишээ нь 20 - 8 ба 10 + 2 илэрхийллүүдийг адитгал гэж болно.

Бүхэл тоо гэдэг нь бутархай хэсэггүй эерэг ба сөрөг тоонууд болон тэг тоо юм. 0 нь эерэг ч биш сөрөг ч биш бүхэл тоо. Иймээс тэгийн өмнө ямар нэгэн тэмдэг тавих нь утга илэрхийлэхгүй +0, -0 бичлэг 0 бичлэгтэй ижил.  

Эерэг ба сөрөг тоонууд

Тоолол нь хоёр эсрэг чиглэлд хийгддэг хэмжээсүүд байдаг. Жишээ нь дулааны хэм буюу температурийн тооллыг хоёр эсрэг чиглэлд хийдэг.

Эерэг тоонуудын хувьд нэмэх, хасах үйлдлүүд энгийн боловч алгебрт эерэг, сөрөг тоонууд ойлголт орж ирснээр нэмэх хасах үйлдэл сурагчдыг ихээр сандралд оруулдаг. Энд хэдэн дүрмийг сайн ойлгоход л бүх зүйл хэвийн болно.

Алгебрт эерэг, сөрөг тоонууд гэсэн ухагдхуун орж ирснээр үржих хуваах үйлдэлд тэмдгийг тодорхойлохын тулд арай өөр дүрмийг ашигладаг. Үржих, хуваах үйлдлийн тухайд өөрчлөлт байхгүй ч тэмдгийг тодорхойлох аргачлал эхлээд сурагчдад хүндрэл үүсгэх талтай. Гэхдээ хичээлийг үзэн багахан дадлага хийхэд бүх зүйл энгийн гэдгийг ойлгоно.

Эсрэг тоонууд гэдэг нь бие биеэсээ зөвхөн тэмдэгээрээ ялгаатай тоонууд.

Жишээ нь

+1 ба -1;  +12,5 ба -12,5;  +100 ба -100 бол эсрэг тоонууд

Тоо бүрд түүний эсрэг тоо зөвхөн нэг л байдаг.

Рационал тоо гэдэг нь өөртөө бүхэл болон бутархай тоонуудыг агуулсан олонлог юм.
Рационал тооны олонлогийг Q үсгээр тэмдэглэдэг.

Санамж: Алгебрийн хичээлүүд болон бодлогод тоонуудын олонлогуудын тэмдэглэгээг өргөнөөр ашигладаг тул тэдгээрийг цээжлэхийг зөвлөе

Алгебрт тоонуудын төрлүүд, тэдгээрт хийгдэх үйлдлүүдийг маш суурьтай зөв ойлгосон байх шаардлагатай. Бүхэл тоо, рационал тоонууд хичээлээр тоонуудын үндсэн төрлүүдийг мэддэг болсон. Тоонууд хооронд хийгдэх үйлдлүүд ерөнхийдөө ижил дүрэмтэй боловч сөрөг тоонуудын хувьд үр дүнгийн тэмдгийг тодорхойлох нь сурагчдад хүндрэл үүсгэх тал бий. Тэмдэг тодорхойлох дүрмийг сайн ойлгоогүйгээс л алгебрийн хичээлд хүүхдүүд дур сонирхолгүй болох эхлэл үүсдэг юм шиг. Гэтэл энэ нь алгебрийн үндсэн суурь ойлголт тул тэмдэг тодорхойлох дүрмийг сайн ойлгон тогтоолгүйгээр цааш явах боломжгүй. Иймээс хичээлийг сайтар судлан ойлгоод дараагийн сэдвүүдийг үзэхийг зөвлөе.

Алгебрт тооны модул буюу абсалют хэмжээс ойлголт чухал үүрэгтэй тул ухагдхууныг сайн ойлгосон байх хэрэгтэй. Тооны модулийг хоёр босоо зураасын хооронд тоог таьсан хэлбэрээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь |-7| бичлэг нь -7 тооны модулийг илэрхийлнэ.